我要一次又一次地說明，所謂的數學發現稱為數學發明更為確切。——路德維希·維特根斯坦

維特根斯坦反復強調：“我要一次又一次地說明，所謂的數學發現稱為數學發明更為確切。”維特根斯坦認為，不論是數學實體還是數學真理都是數學家的發明而非發現。

實際上，這觸及了所有數學家不肯正視的話題：所謂數學和邏輯的嚴謹性——有些人愿意稱作為理性，不過是人類發明的一種語言體系。

古人創造數學這門語言的目的，是嘗試描述藏在世界背后的真相并獲得實用價值，但是，人類最后能否找到這種真相，或是精確描述該真相，卻和我們運用的語言本身的嚴謹與否，沒有直接關系。

簡單來說，是獲得真理更重要，還是獲得真理的證明更重要？當然，如果真理的價值就在于其是否為真，那么，對真理的證明當然重要。我們在乎的是用錘子做成的椅子，而不是錘子本身或者做椅子的過程，雖然錘子和過程會影響做出的椅子。

然而，我們除了檢查錘子本身的結構或做椅子的過程，從內部來證明做成的椅子是同一的椅子，也就是正確的“椅子”，我們還可以，或更多地是直接從外部檢查做成的這把椅子是否有用、是否一樣。在這里，所謂正確，即內部（結構、過程）同一。

特斯拉的車，無論在美國還是上海生產，無論是5年前還是現在生產，工廠內部只要按照相同（即正確的）數字標準，相同的（即正確的）生產過程，就能生產出相同的汽車商品。

因而，數學中那些看上去天經地義不可置疑的東西（比如三角形任意兩邊之和大于第三邊），并非新增了某個關于世界的事實，而只是換了一種說法（任意兩邊之和大于第三邊其實就包含在對三角形的定義中）。

維特根斯坦說，“數學僅僅是一門語言，并不嚴密更不神秘。”而依照維特根斯坦著名的“語言游戲論”來推論，那么，作為一種語言的數學，也不過是一種游戲而已。

因此，數學只是一種語言游戲，但為何卻如此有用？

雖然從數學（數量）上，變來變去，都是一樣的，看起來沒有什么意義，就像玩游戲一樣。然而 ，物體不只有數量這一種性質。

例如，1x6方格組成的長方體，與2x3方格組成的長方體，從數量上是一樣的，從數量上是一樣的，但是，1x6長方體可以從1格的小洞中出來，2x3長方體則不行。就像我們日常生活中的寓言，長竹竿橫豎都出不了門，只有直著才能出門。正是，這種2x3到1x6的變化，單從數量這個性質上看，像是一種游戲，非常無聊。

然而，卻解決了問題，非常有用。為什么？

雖然長方體從數量上沒有變化，但是，從形狀上有了改變，從而，讓這種無聊的不變有了意義。

不過，這種有意義并非從數學本身內部產生，而是來自數學之外。

但反過來說，數學特別之處，或者說特別有價值的地方，就在于變來變去還能保持數量上的一致，即準確。

數學的這種一致，帶來的最大作用，首先體現在人類文明通過數學的分割，可進行多人多年的合作，而讓人類文明成果有所累積，不拘于一人一世。

數學作為人類實踐工具的強大有效，并不是來源于其天然的永恒正確，而恰恰相反，是來自于其對于現實的某種曲解，對現實不同程度的分解與簡化。這種分解與簡化，讓人類的實踐可以累積與合并，從而帶來持續的和規模上的實踐成果。

遵循數學的方式，讓人類的努力，在一時一事中遵循數字顯得僵死愚笨，而在百世千代的事業中則顯出輝煌偉力。這一點，可以從親近數字并奉數學為皋臬的商業與科學一日千里的發展，而其他人文學科則循環徘徊難有長進。

歷史學家黃仁宇認為中國古代社會長期未能實現大突破，始終難以走出歷史的循環，至近代更是落后于西方，關鍵在于中國始終未能實現“數目字管理”，便是直覺到了數學的巨大威力。

【書單推薦】

這5本書讓你三分鐘了解數學。

只要你為你的生命駐足一刻，就可以和數學來一次親密接觸。

《最后的數學問題》

作者: [美]馬里奧·利維奧（Mario Livio）

出版社: 人民郵電出版社

譯者: 黃征

出版年: 2019-8

人類思想史上每一次突破性發展，幾乎都與數學史上的大發展息息相關，他們的共同特點都是沖破各種阻力，打破現實桎梏，解放禁錮的思想。

笛卡爾發明解析幾何，將幾千年來的幾何與毫不相關的算術關聯起來。而黎曼幾何的發明，又沖擊了當時的整個幾何與數學體系，甚至包括哲學體系，因為著名的哲學家康德就是以歐幾里德幾何為一切理性批判的基礎。

其實不僅僅數學，其他學科（如物理學）和其他領域（如互聯網）也同樣是這樣的。數學的形式是人類發明的，而數學的本質是人類發現的。

這本書講述了數學的演化過程，從科學、哲學、歷史、文化角度全方位地探討了數學的本質，揭示數學與物質世界、與人類思維之間的微妙關系。

《數學與生活（修訂版）》

作者: [日] 遠山啟

出版社: 人民郵電出版社

譯者: 呂硯山 / 李誦雪 / 馬杰 / 莫德舉

出版年: 2014-10

這本書貫通多學科知識，結合日常生活和東西方各國膾炙人口的故事，用通俗易懂的語言，將數學知識和原理交織呈現，猶如一本有趣的故事書。

讀者從中不但了解了數學的風貌，而且也能懂得數學與日常生活的密切聯系，及其與物理學、化學、天文地理乃至音樂、美術等學科的關聯。

數學可以讓我們更好地思考：它可以磨練我們的直覺，讓我們的判斷更敏銳，它還可以馴服不確定性，讓我們更深入地了解世界的結構和邏輯。

擁有了數學工具，我們就可以把那些我們想當然的事情看得更透徹，從而做出正確的決策。

《萬物皆數》

作者: [法] 米卡埃爾·洛奈（Micka?l Launay）

出版社: 低音·北京聯合出版公司

譯者: 孫佳雯

出版年: 2018-12

數學無處不在的威力從何而來？

數學所揭示的真理是人類的發現，但描述這些真理的文字體系（符號體系等）則是人類的發明。

這本書的格局之大令人驚艷，它將數學的歷史一下子向前推到了史前時代。

我們看到了史前人類對幾何之美的本能追求，看到了古文明時代的人們如何“發明”數學以適應不斷發展的生產資料和日常生活，看到了古代賢明君王對數學以及其他自然科學的維護和推崇。

愿讀者憑借此書發現數學的本原之美，發現美的本原源于數學。

《數學世界的探奇之旅》

作者: 布賴恩·克萊格 (Brian Clegg)

出版社: 中信出版社

譯者: 胡小銳

出版年: 2017-10-1

這本書講述了抽象的數學與現實世界的聯系。從數學家畢達哥拉斯那里，我們知道220和284堪稱數學界的羅密歐與朱麗葉；阿基米德試圖計算出能夠填滿整個宇宙的沙粒數量，因此顛覆了原本基于現實的數字系統；由于統計和概率的發展以及對人壽命的預期的研究，保險業應運而生。

數學始終在現實世界和抽象世界之間游走，它產生于現實生活，發展成解決統計、概率、物理等學科問題的工具，直到對黑洞存在的準確預測以及量子物理學的誕生。在數學創造的神秘世界中，猶如脫韁的野馬，越來越讓人看不懂。

這本書為你找到它與現實連接的痕跡，文科生也能看懂的直白講述打破你對數學的固有成見，數學不再是你看不懂的公式，你可以在生活中發現數學的妙用。

《魔鬼數學》

作者: [美] Jordan Ellenberg

出版社: 中信出版集團

譯者: 胡小銳

出版年: 2015-9-5

數學與我們所做的每一件事都息息相關。

你應該提前多長時間到達機場？為什么父母都是高個子，孩子的身高卻比較矮？用什么策略買彩票才能中大獎？

數學是一門告訴我們“如何做才不會犯錯”的科學，可以幫助我們洞見在混沌和嘈雜的表象之下日常生活的隱性結構和秩序。

這本書運用數學方法分析和解決了很多的日常生活問題，幫助數學門外漢習得用數學思維思考問題的技能。